La secció àuria

La raó àuria, secció àuria o divina proporció és la relació que guarden dos segments a i b (o per extensió, la que guarden dues quantitats a i b) si entre el total i el segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i el segment menor, o, en altres paraules, si el tot és al segment major igual que el major és al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b al menor, la formulació matemàtica de la definició es pot escriure com:
El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un nombre irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega Φ o φ (fi) en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys freqüentment amb τ (tau):

Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticament agradables en la cultura d'occident, de manera que la proporció divina s'ha usat freqüentment al llarg de la Història en l'art i el disseny. Òbviament, també s'ha usat la inversa de la raó àuria Φ-1. A vegades s'utilitza la fi minúscula (φ) per aquest valor quan s'utilitza la majúscula per l'anterior.

Però la raó àuria també és coneguda perquè la trobem a la natura, i és possiblement el fet que aparegui en els llocs més insospitats, conjuntament amb una sèrie de curioses propietats matemàtiques, el que ha fet que rebés la qualificació (metafòrica) de "proporció divina".


Triangle d'or

Els triangles d'or són aquells triangles isòsceles els costats dels quals estan en raó àuria. N'hi ha de dos tipus: els que , que són acutangles i els que , que són obtusangles. Aquests últims sovint són també anomenats triangles d'argent, però no tenen res a veure amb el nombre d'argent (que no té res a veure amb φ, l'invers de Φ).

Triangles d'or

Els triangles d'or tenen dos angles de 72º i un de 36º; els triangles d'argent tenen dos angles de 36º i un de 108º. Aquests són els mateixos angles que apareixen també en el pentàgon regular i el pentacle, on no és sorprenent de retrobar els triangles d'or i la raó àuria.

Demostració: En la figura de l'esquerra, es pot veure com el triangle ABD és semblant al triangle BCA ja que els dos són isòsceles i tenen un angle en comú. Així, els angles ABD i ACB són iguals. La raó de semblança és, per construcció dels triangles 1/Φ. Llavors, el segment AD mesura 1/Φ.

Com que el nombre d'or verifica la igualtat

el segment DC mesura 1, de manera que el triangle BCD és isòsceles i els angles DCB i DBC són iguals. Per tant, com que DCB i ACB són iguals, ABD i DBC són iguals i DB marca la bisectriu de l'angle ABC. Atès que la suma dels angles d'un triangle val 180°, els valors dels angles és de 36° pels més aguts (la cinquena part d'un angle pla) i de 72º pels més oberts, (dues cinquenes parts de l'angle pla o una cinquena part d'un angle complet).

Curiosament, el nombre d'or el podem trobar també en la naturalesa, de vegades en llocs insospitats:

En cada rusc d'abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.

En la disposició dels pètals de les flors (Anomenat Llei de Ludwig en botànica)

En la relació entre els nervis del tall d'una fulla.

En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre d'or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és degut al fet que el nombre d'or és el nombre irracional que triga més a convergir i, per tant, l'efecte que crea aquest angle és precisament el d'evitar que mai les fulles se superposin completament).

En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de girasol

En l'espiral dels cargols "nautilus", que són espirals d'or, logarítmiques.

En les espirals d'una pinya.

En alguns quasicristalls com el de l'aliatge de zinc, magnesi i holmi, que formen un dodecaedre regular. No és el cas dels cristalls de pirita dodecaèdrics (piritoedres), en que les cares són pentàgons amb quatre costats iguals i un de diferent, i la figura resultant té la simetria del tetraedre, anomenada Th (3*2), i no pas pentagonal.

Algunes d'aquestes aparicions poden arribar-se a explicar mitjançant les successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. D'altres però, són aparicions més misterioses.